Luas Bayangan Bangun Datar

Menghitung Luas Bayangan Bangun Datar.

Pada topik sebelumnya, kalian telah belajar tentang transformasi titik, garis, dan kurva. Kalian tentu mengetahui bahwa dari beberapa titik dan beberapa garis dapat dibuat bidang datar. Nah, kali ini kalian akan belajar tentang cara menentukan luas bayangan dari bangun datar setelah ditransformasi.

Sebagaimana kalian ketahui, suatu bangun datar jika ditransformasi akan mengalami perubahan. Adapun perubahan tersebut dapat berupa posisi atau letak, dapat pula bentuk bangunnya, atau juga ukurannya.

Sebelum membahas lebih lanjut tentang luas bayangan bangun ruang, mari kita ingat kembali cara menghitung luas segitiga jika diketahui koordinat ketiga titik sudutnya.

Luas segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudut A(x1, y1), B(x2, y2), dan C(x3, y3) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:

Nah, untuk mempermudah pemahaman kalian tentang bagaimana menentukan luas bayangan bangun datar, mari kita perhatikan contoh berikut.

Contoh 1

Tentukan luas bayangan persegi panjang ABCD dengan koordinat A((2, 0), B(6,0), C(6, 2), dan D(2,2) jika ditransformasikan terhadap matriks berikut: 

Penyelesaian :
Berdasarkan konsep transformasi, diperoleh hasil transformasi sebagai berikut:

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan bahwa bayangan titik A, B, C, dan D berturut-turut adalah A’(4, 0), B’(12, 0), C’(12, 4), dan D’(4, 4).

Berdasarkan gambar di atas, tampak bahwa bentuk bayangan hasil transformasi masih berupa persegi panjang.

Luas A’B’C’D’ = A’B’ x A’D’= 8 x 4 = 32 satuan luas.

Credit : https://link.quipper.com

Dilatasi Berpusat di P (a, b)

Dilatasi yang berpusat di P (a, b) dengan Faktor Skalar k.

Banyak masalah nyata yang berhubungan dengan dilatasi. Sebagai contoh penggunaan mikroskop untuk memperbesar foto penampang. Konsep dilatasi juga digunakan dalam pembuatan peta. Dalam hal ini, faktor skala memegang peranan penting.

Pada topik sebelumnya, kalian telah belajar tentang dilatasi yang berpusat di titik O(0,0) dengan faktor skala k. Nah, dalam topik ini kalian juga akan belajar tentang dilatasi, namun pusat dilatasinya adalah P(a,b).

Seperti yang telah kalian ketahui, pusat dilatasi dan faktor skala memegang peranan penting dalam dilatasi.

Konsep Dasar
Berikut ini adalah perbedaan hasil dilatasi dengan memperhatikan nilai dari faktor skala k:

• Jika k>1, maka bayangan benda diperbesar dan kedudukan benda dan bayangan adalah sepihak terhadap pusat dilatasi.
• Jika 0<k<1, maka bayangan benda diperkecil dan kedudukan benda dan bayangan adalah sepihak terhadap pusat dilatasi.
• Jika −1<k<0, maka bayangan benda diperkecil dan kedudukan benda dan bayangan berlawanan pihak terhadap pusat dilatasi.
• Jika k<−1 maka bayangan benda diperbesar dan kedudukan benda dan bayangan berlawanan pihak terhadap pusat dilatasi.

Nah, tahukah kalian perbedaan antara hasil dilatasi dengan pusat O(0,0) dan P(a,b)?

Mari kita temukan jawabannya dengan memperhatikan ilustrasi berikut ini.

Dilatasi yang berpusat di P (a, b) dengan Faktor Skalar k.

Jadi, koordinat bayangan dari titik A(x,y) oleh dilatasi [P(a,b),k] adalah A′(a + k(x - a), b + k(y − b)).

Persamaan matriks yang sesuai dengan dilatasi ini adalah sebagai berikut:



Contoh 1 :

Tentukan bayangan titik P(2,−1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala (-3).

Penyelesaian ;

Jika P′(x′,y′) adalah koordinat titik bayangan yang dimaksud, maka

Jadi, bayangan titik P(2,−1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala (-3) adalah P(6,19).

Contoh 2 :
Tentukan persamaan bayangan garis y=3x+2 oleh dilatasi dengan pusat P(21) dan faktor skala 4.

Penyelesaian:

Jika A′(x′,y′) adalah koordinat titik bayangan yang dimaksud, maka

Dengan demikian maka,

Bayangan garis y = 3x + 2 oleh dilatasi terhadap titik pusat P(2,1) dan faktor skala 4 adalah :

garis y = 3x + 23.

Credit : https://link.quipper.com/

Transformasi Kurva Menggunakan Matriks

Transformasi Kurva Menggunakan Matriks. Bentuk matriks dapat digunakan dalam transformasi. Adapun transformasi merupakan fungsi yang memetakan titik semula ke bayangan titik tersebut. Pada topik sebelumnya, kalian telah belajar tentang transformasi titik dengan menggunakan matriks tunggal. Nah, pada topik ini kalian akan belajar tentang cara menentukan bayangan garis atau kurva dengan menggunakan matriks transformasi tunggal. Kalian pasti tidak akan merasa kesukaran dalam mempela

jari materi ini karena pada dasarnya transformasi garis maupun kurva dengan menggunakan matriks tunggal caranya sama dengan melakukan transformasi titik. Apakah kalian tahu sebabnya? Ya, hal ini dikarenakan garis maupun kurva adalah himpunan titik-titik yang memenuhi syarat tertentu. 

Untuk mempermudah kalian dalam mempelajari topik ini, mari kita cermati beberapa contoh soal 

berikut. Tentukan bayangan garis  , oleh suatu matriks .

Agar kalian dengan mudah memahami masalah ini, mari kita perhatikan gambar berikut ini:

Konsep Dasar : 

Perlu kalian ketahui, titik (x, y) adalah titik yang akan ditransformasikan terhadap matriks ,  sedangkan (x', y') adalah titik hasil transformasi.

Mari kita perhatikan kembali contoh .

Dalam contoh , matriks transformasi yang digunakan adalah . sehingga diperoleh hubungan sebagai berikut:



Selanjutnya jika kita subtitusikan x = x' - 4 dan y = y' - 6 ke dalam persamaan garis 2x + 3y = 6, maka diperoleh persamaan garis yang baru, yaitu:

<=> 2x '- 8 + 3y' - 18  = 6
<=> 2x' + 3y' = 32, 
dengan demikian bayangan garisnya adalah :
2x + 3y  = 32

Credit : https://link.quipper.com/